Mọi người giúp e giải những bài này nhé. E ko hiểu lắm. Mà thầy cũng không giảng. Nên chả bik làm thế nào.

Bạn đang xem: Bài tập tích phân đường loại 1 có lời giải


2, $\int_{L} y dx - (y+ x^{^{2}}) dy$; L là cung parapol $y=2x - x^2$ nằm trên trục Ox theo chiều đồng hồ
3, $\int_{L}(2a-y)dx + xdy$; L là đường $x= a(1 - sin t); y= a(1 - cost); 0\leqslant t\leqslant 2\pi ; a>0$
4, $I=\int_{L} xyz ds$; L là đường cung của đường cong $x=t; y=\frac{1}{3}\sqrt{8t^3}; z=\frac{1}{2}t^2$ giữa các điểm $t=0; t=1$

#2
*
vo van duc


vo van duc

Thiếu úy

Điều hành viên Đại học
*
565 Bài viếtGiới tính:NamĐến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Dù hơi bị bận rộn một chút nhưng tôi cũng cố gắng giải thích giúp bạn một số ý chính.

.......................................................

1) Tích phân dường loại 1 trong mặt phẳng.

$I=\int_{L}f(x,y)ds$

Nếu$L:\left\{\begin{matrix} x=x(t)\\ y=y(t)\\ t\in \left < a,b \right > \end{matrix}\right.$ thì$I=\int_{a}^{b}f\left ( x(t),y(t) \right ).\sqrt{(x"(t))^{2}+(y"(t))^{2}}dt$Nếu$L:\left\{\begin{matrix} y=y(x)\\ x\in \left < a,b \right > \end{matrix}\right.$ thì$I=\int_{a}^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+\left ( y"(x) \right )^{2}}dx$Nếu$L:\left\{\begin{matrix} x=x(y)\\ y\in \left < a,b \right > \end{matrix}\right.$ thì$I=\int_{a}^{b}f(x(y),y)\sqrt{\left ( x"(y) \right )^{2}+1}dx$

Ví dụ 1:

$I_1=\int _{AB}(x-y)ds$ với AB là đoạn thănngr nối 2 điểm A(0,0) và B(4,3).

Giải:

Ta biết rằng$f(x,y)=x-y$ và L là đoạn thẳng AB.

Như tóm tắc lý thuyết đã nêu trên thì ta cần biết dạng biểu diễn (phương trình biểu diễn) của đoạn thẳng AB. Như trên thì ta có 3 cách biểu diễn của đoạn AB. Và ở đây tôi cũng xin làm theo cả ba cách để bạn có thể nắm bắt tốt nó.

Xem thêm: Contract Asset Là Gì? ? Asset Là Gì, Nghĩa Của Từ Asset

Cách 1: Ta biểu diễn doạn AB theo phương trình tham số.

Ta có:

$AB:\left\{\begin{matrix} x=4t\\ y=3t\\ t\in \left < 0,1 \right > \end{matrix}\right.$

Khi đó

$I_1=\int_{0}^{1}\left < (4t)-(3t) \right >\sqrt{4^2+3^2}dt=5\int_{0}^{1}tdt=\frac{5}{2}$

.............................................

Phương trình tham số của doạn AB ta lấy ở đâu ra? Xin thưa rằng nó nằm trong chương trình lớp 10. Nhưng ở đây tôi cũng xin nhắc lại một số kết quả để chúng ta tiện sử dụng.

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm $A(x_A,y_A)$ và $B(x_B,y_B)$.Khi đó phương trình tham số đoạn AB là:$\left\{\begin{matrix} x=x_A+(x_B-x_A).t\\ y=y_A+(y_B-y_A).t\\ t\in \left < 0,1 \right > \end{matrix}\right.$Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho đường tròn $\left ( C \right )$ có phương trình$(x-a)^2+(y-b)^2=R$.Khi đó phương trình tham số của $\left ( C \right )$ là:$\left\{\begin{matrix} x=a+R\cos t\\ y=b+R\sin t\\ t\in \left < 0,2\pi \right > \end{matrix}\right.$

.........................................................

Cách 2:

Ta có phương trình đường thẳng AB là $3x-4y=0$. Từ đây suy ra$y=\frac{3}{4}x$.

Nhưng phương trình đoạn AB thì sao?

Đó là$AB:\left\{\begin{matrix} y=\frac{3}{4}x\\ x\in \left < 0,4 \right > \end{matrix}\right.$

Khi đó

$I_1=\int_{0}^{4}\left < x-\left ( \frac{3}{4}x \right ) \right >\sqrt{1+\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}}dx=\frac{5}{32}\int_{0}^{4}xdx=\frac{5}{2}$

Cách3:

Giống như cách 2 ta cũng có$\left\{\begin{matrix} x=\frac{4}{3}y\\ y\in \left < 0,3 \right > \end{matrix}\right.$

Khi đó

$I_1=\int_{0}^{3}\left < \left ( \frac{4}{3}y \right )-y \right >\sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^{2}+1}dy=\frac{5}{9}\int_{0}^{3}ydy=\frac{5}{2}$

2) Tích phân đường loại 1 trong không gian

$I=\int_{L}f(x,y,z)ds$

Ta biểu diễn$L:\left\{\begin{matrix} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\\ t\in \left < a,b \right > \end{matrix}\right.$

Khi đó$I=\int_{a}^{b}f\left ( x(t),y(t),z(t) \right )\sqrt{\left ( x"(t) \right )^{2}+\left ( y"(t) \right )^{2}+\left ( z"(t) \right )^{2}}dt$

Ví dụ 2: Câu 4 của bạn.

$I_2=\int_{L}xyzds$ với$L:\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=\frac{1}{3}\sqrt{8t^{3}}\\ z=\frac{t^{2}}{2}\\ t\in \left < 0,1 \right > \end{matrix}\right.$

Khi đó

$I_2=\int_{0}^{1}t.\frac{1}{3}\sqrt{8t^{3}}.\frac{t^{2}}{2}.\sqrt{1^2+\left ( \sqrt{2t} \right )^{2}+t^{2}}.dt$

$=\frac{\sqrt{2}}{3}\int_{0}^{1}t^{\frac{9}{2}}\sqrt{1+2t+t^2}.dt=\frac{\sqrt{2}}{3}\int_{0}^{1}t^{\frac{9}{2}}(1+t)dt=\frac{16\sqrt{2}}{143}$