Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPmùi hương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Khái niệm ma trận nghịch đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cấp cho n được gọi là ma trận đơn vị ví như A.I = I.A = A, với mọi ma trận vuông A cấp n

Ta nhận thấy ma trận trên là tồn tại. Thật vậy, ma trận thỏa điều kiện bên trên bao gồm dạng sau:


*

Ma trận đơn vị chức năng cấp n


Trong khi, ma trận đơn vị là độc nhất. Thật vậy, trả sử bao gồm nhì ma trận đơn vị I và I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị chức năng đề nghị I.I’ = I’.I = I’

và I’ là ma trận đơn vị bắt buộc I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là 1 ma trận vuông cung cấp n bên trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, nếu như trường thọ một ma trận B vuông cung cấp n trên K sao cho: A.B = B.A = In. khi kia, B được Call là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký kết hiệu A-1.

Bạn đang xem: Cách giải ma trận nghịch đảo

Nhỏng vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch hòn đảo là nhất, vì chưng mang sử mãi mãi ma trận C vuông cấp n cũng chính là ma trận nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, tức là A lại là ma trận nghịch đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện tại, có không ít giáo trình quốc tế đã đề cùa đến khái niệm khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Thật vậy, đến A là ma trận cung cấp m x n trên ngôi trường số K. Lúc đó, ta bảo A là khả nghịch trái nếu như trường thọ ma trận L cấp cho n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải giả dụ trường thọ ma trận R cấp cho n x m sao cho: A.R = Im. Và khi ấy, dĩ nhiên A khả nghịch nếu A khả nghịch trái cùng khả nghịch đề xuất.

4. Ma trận đơn vị chức năng là khả nghịch, Ma trận ko ko khả nghịch.

5. Tập thích hợp các ma trận vuông cấp n bên trên K khả nghịch, được ký hiệu là GLn(K).

1.4 Các ví dụ:

Xét các ma trận vuông thực, cấp 2 sau đây:

*

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch và A là nghịch đảo của B; B là nghịch hòn đảo của A

Ma trận C không khả nghịch bởi vì với mọi ma trận vuông cấp cho 2 ta các có:

*
Nhận xét: Ma trận tất cả ít nhất 1 dòng ko (hoặc cột không) phần lớn ko khả nghịch.

Xem thêm: Vì Sao Lại Có Mưa Ngâu Là Gì, Nghĩa Của Từ Mưa Ngâu Trong Tiếng Việt

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch với (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch cùng (AT)-1= (A-1)T

(Bạn hãy thừ minh chứng kết quả bên trên nhé)

3. Mối quan hệ tình dục thân ma trận khả nghịch cùng ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp n trên K (n ≥ 2) được gọi là ma trận sơ cấp dòng (cột) giả dụ E nhận được từ ma trận đơn vị In bời đúng 1 phnghiền biến hóa sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cấp cho mẫu giỏi cột Hotline bình thường là ma trận sơ cấp.

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp loại (xuất xắc cột) phần nhiều khả nghịch và nghịch đảo của nó lại là 1 trong những ma trận sơ cung cấp loại.

Ta hoàn toàn có thể kiểm tra thẳng kết quả trên bởi thực nghiệm:

Ma trận sơ cung cấp dạng 1: nhân 1 loại của ma trận đơn vị chức năng cùng với α ≠ 0


*

Ma trận sơ cung cấp dạng 1


*

Ma trận sơ cung cấp dạng 2


*

Ma trận sơ cấp dạng 3


3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cấp cho n trên K (n ≥ 2). Khi kia, những xác định sau đó là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận thấy từ A vì chưng một vài hữu hạn các phnghiền thay đổi sơ cung cấp loại (cột)

3. A là tích của một số trong những hữu hạn những ma trận sơ cấp

(quý khách hàng phát âm có thể xem chứng minh định lý này trong ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cấp cho n bên trên K (n ≥ 2). Lúc kia, những xác minh sau đấy là tương đương:

1. A khả nghịch khi còn chỉ lúc dạng chính tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì In nhận ra tự A vày một số hữu hạn những phép đổi khác sơ cấp cho chiếc (cột); đồng thời, chủ yếu hàng các phnghiền đổi khác sơ cấp cho dòng (cột) đó sẽ vươn lên là In thành nghịch hòn đảo của ma trận A.

4. Thuật tân oán Gausβ – Jordan tra cứu ma trận nghịch hòn đảo bởi phép đổi khác sơ cấp:

Ta thực hiện thuật toán Gausβ – Jordan nhằm tra cứu nghịch đảo (giả dụ có)của ma trận A vuông cung cấp n bên trên K. Thuật tân oán này được sản xuất phụ thuộc vào công dụng thứ 2 của hệ trái 3.4. Ta thực hiện công việc sau đây

Bước 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghép thêm ma trận đơn vị chức năng cấp n I vào mặt đề xuất ma trận A


*

Lập ma trận đưa ra khối hận cấp cho n x 2n


Cách 2: Dùng những phnghiền đổi khác sơ cấp dòng để mang < A|I > về dạng < A’ | B >, trong số đó A’ là 1 ma trận cầu thang thiết yếu tắc.

Xem thêm: Hououga/Hououka Fanart I Did For A Contest On Da! : Onmyoji, Explore The Best Hououka Art

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch cùng A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A không khả nghịch. Nghĩa là, trong quá trình biến đổi nếu A’ mở ra ít nhất 1 loại ko thì nhanh chóng Tóm lại A không khả nghịch (không cần phải đưa A’ về dạng chính tắc) với xong xuôi thuật toán.

lấy ví dụ minh họa: Sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm ma trận nghịch đảo của: