Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số con đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPmùi hương pháp Tân oán Lý (PT Đạo hàm riêng biệt cùng PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Khái niệm ma trận nghịch đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cung cấp n được Điện thoại tư vấn là ma trận đơn vị chức năng trường hợp A.I = I.A = A, với mọi ma trận vuông A cung cấp n

Ta phân biệt ma trận bên trên là tồn tại. Thật vậy, ma trận thỏa ĐK trên có dạng sau:


*

Ma trận đơn vị chức năng cung cấp n

Trong khi, ma trận đơn vị là tuyệt nhất. Thật vậy, mang sử có hai ma trận đơn vị I và I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị đề nghị I.I’ = I’.I = I’

với I’ là ma trận đơn vị chức năng bắt buộc I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là một trong những ma trận vuông cấp cho n bên trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, nếu trường tồn một ma trận B vuông cấp n bên trên K sao cho: A.B = B.A = In. khi đó, B được call là ma trận nghịch đảo của ma trận A, cam kết hiệu A-1.quý khách hàng vẫn xem: Ma trận nghịch hòn đảo là gì

Nhỏng vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch hòn đảo là duy nhất, vị giả sử trường thọ ma trận C vuông cung cấp n cũng chính là ma trận nghịch hòn đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, tức thị A lại là ma trận nghịch đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện nay, có nhiều giáo trình nước ngoài sẽ đề cập tới tư tưởng khả nghịch của ma trận ngẫu nhiên.Bạn sẽ xem: Ma trận nghịch hòn đảo là gì

Thật vậy, mang lại A là ma trận cung cấp m x n bên trên ngôi trường số K. Khi đó, ta bảo A là khả nghịch trái giả dụ tồn tại ma trận L cung cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải giả dụ sống thọ ma trận R cung cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và lúc đó, dĩ nhiên A khả nghịch nếu A khả nghịch trái và khả nghịch nên.

Bạn đang xem: Ma trận nghịch đảo là gì

4. Ma trận đơn vị chức năng là khả nghịch, Ma trận ko không khả nghịch.

1.4 Các ví dụ:

Xét các ma trận vuông thực, cấp cho 2 sau đây:


*

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch cùng A là nghịch hòn đảo của B; B là nghịch đảo của A

Ma trận C ko khả nghịch do với tất cả ma trận vuông cung cấp 2 ta gần như có:


*

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch và (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch và (AT)-1= (A-1)T

(quý khách hàng hãy thừ chứng minh tác dụng trên nhé)

3. Mối quan hệ giữa ma trận khả nghịch cùng ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cung cấp n trên K (n ≥ 2) được Điện thoại tư vấn là ma trận sơ cung cấp dòng (cột) giả dụ E thu được tự ma trận đơn vị chức năng In bời đúng 1 phxay biến đổi sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cấp cho dòng hay cột Điện thoại tư vấn bình thường là ma trận sơ cấp.

Xem thêm: Review Sữa Rửa Mặt Naive : Sạch Sâu, Giá Rẻ, Nên Mua!, Từng Loại Có Những Ưu Điểm Gì

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp chiếc (hay cột) gần như khả nghịch và nghịch đảo của này lại là một ma trận sơ cung cấp loại.

Ta rất có thể đánh giá trực tiếp hiệu quả bên trên bằng thực nghiệm:

Ma trận sơ cấp cho dạng 1: nhân 1 mẫu của ma trận đơn vị với α ≠ 0


*

Ma trận sơ cấp dạng 1


*

Ma trận sơ cung cấp dạng 2

Ma trận sơ cấp dạng 3

3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cấp n bên trên K (n ≥ 2). Lúc đó, các xác minh sau đấy là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận ra tự A do một vài hữu hạn các phxay đổi khác sơ cấp dòng (cột)

3. A là tích của một vài hữu hạn những ma trận sơ cấp

(Bạn phát âm rất có thể xem chứng tỏ định lý này trong ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cung cấp n bên trên K (n ≥ 2). Khi đó, các xác minh sau đó là tương đương:

1. A khả nghịch Khi và chỉ còn lúc dạng thiết yếu tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì In nhận ra từ A vị một số trong những hữu hạn các phxay biến hóa sơ cung cấp mẫu (cột); mặt khác, thiết yếu dãy những phép đổi khác sơ cấp cho mẫu (cột) đó sẽ trở thành In thành nghịch hòn đảo của ma trận A.

4. Thuật toán thù Gausβ – Jordan search ma trận nghịch hòn đảo bởi phnghiền chuyển đổi sơ cấp:

Ta thực hiện thuật tân oán Gausβ – Jordan nhằm search nghịch hòn đảo (nếu như có)của ma trận A vuông cung cấp n bên trên K. Thuật toán này được chế tạo phụ thuộc vào công dụng thứ hai của hệ quả 3.4. Ta thực hiện quá trình sau đây

Bước 1: lập ma trận n mặt hàng, 2n cột bằng cách ghép thêm ma trận đơn vị cấp n I vào mặt đề xuất ma trận A

Lập ma trận đưa ra kăn năn cung cấp n x 2n

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch và A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A ko khả nghịch. Nghĩa là, vào quá trình chuyển đổi nếu A’ xuất hiện ít nhất 1 mẫu không thì nhanh chóng Kết luận A không khả nghịch (không nhất thiết phải đưa A’ về dạng bao gồm tắc) cùng xong thuật toán thù.

lấy ví dụ minc họa: Sử dụng thuật toán thù Gausβ – Jordan nhằm tra cứu ma trận nghịch đảo của: