Phân tích đa thức thành nhân tử là kiến thức và kỹ năng cơ sở cho các bài học tập về nhân chia solo thức, đa thức quan trọng trong những biểu thức phân số tất cả chứa thay đổi trong lịch trình toán 8 và cả những lớp sau này.

Bạn đang xem: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử


Chính vì chưng vậy, mà bài toán nắm vững các cách phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương thức đặt nhân tử chung, đội hạng tử, hay phương pháp dùng hằng đẳng thức là vấn đề rất buộc phải thiết. Nội dung bài viết dưới đây vẫn tổng vừa lòng các phương thức phân tích đa thức thành nhân tử và áp dụng giải những dạng bài tập này.


I. Các cách thức phân tích nhiều thức thành nhân tử

1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thức đặt nhân tử chung

* Phương pháp:

Tìm nhân tử chung là những đơn thức, nhiều thức có mặt trong toàn bộ các hạng tử.

- so sánh mỗi hạng tử kết quả của nhân tử chung và một nhân tử khác.

- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử sót lại của mỗi hạng tử vào trong vết ngoặc (và cả lốt của chúng).

 * Ví dụ. phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử.

 a) 15x3 - 5x2 + 10x = 5x.(3x2) + 5x.(-x) + 5x.(2) = 5x(3x2 - x + 2)

 b) 28x2y2 - 21xy2 + 14x2y = 7xy.(4xy) + 7xy.(-3y) + 7xy.(2x) = 7xy(4xy - 3y + 2x)

2. Phân tích đa thức thành nhân tử với phương thức dùng hằng đẳng thức

* Phương pháp:

- thay đổi đa thức bạn đầu về dạng thân thuộc của hằng đẳng thức, tiếp nối sử dụng hằng đẳng thức để triển khai xuất hiên nhân tử chung.

Cần chú ý đến việc vận dụng linh hoạt những hằng đẳng thức xứng đáng nhớ:

 ♦ (A+B)2= A2+2AB+B2

 ♦ (A–B)2= A2– 2AB+ B2

 ♦ A2–B2= (A-B)(A+B)

 ♦ (A+B)3= A3+3A2B +3AB2+B3

 ♦ (A – B)3= A3- 3A2B+ 3AB2- B3

 ♦ A3+ B3= (A+B)(A2- AB +B2)

 ♦ A3- B3= (A- B)(A2+ AB+ B2)

 ♦ (A+B+C)2= A2+ B2+C2+2 AB+ 2AC+ 2BC

* Chú ý: a+b= -(-a-b) ; (a+b)2= (-a-b)2 ; (a-b)2= (b-a)2 ; (a+b)3= -(-a-b)3 ; (a-b)3=-(-a+b)3

* Ví dụ: Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử.

 a) 9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)

 b) 8 – 27x3y6 = 23 – (3xy2)3 = (2 – 3xy2)(4 + 6xy2  + 9x2y4)

 c) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2

3. Giải pháp phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng cách thức nhóm các hạng tử

* Phương pháp:

- kết hợp các hạng tử tương thích thành từng nhóm.

- Áp dụng tiếp tục các phương thức đặt nhân tử thông thường hoặc cần sử dụng hằng đẳng thức.

* Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 a) 2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3)

= 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3)

 b) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)

4. Cách thêm giảm 1 hạng tử hoặc bóc hạng tử nhằm phân tích đa thức thành nhân tử

* Phương pháp:

- áp dụng thêm giảm hạng tử linh hoạt để mang về nhóm hạng tử phổ biến hoặc dùng hằng đẳng thức

 * Ví dụ: Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử

 a) x4 + 4 = x4 + (4x2 - 4x2) + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x2+2)2 - 4x2

= (x2+2-2x)(x2+2+2x)

 b) x4 + 1 = x4 + 2x2 - 2x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 - 2x2 = (x2+1)2 - 2x2 = (x2+1)2 - (x√2)2

= (x2+1-x√2)(x2+1+x√2)

 c) 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 8x + 16 - 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = 3(x2 - 4) + 8(x+2)

 =3(x-2)(x+2) + 8(x+2) =(x + 2)<3(x-2)+8> =(x + 2)(3x + 2)

 hoặc: 3x2 + 8x + 4 = 4x2 - x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2

 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x) = (x + 2)(3x + 2)

5. Phối vừa lòng nhiều cách thức để phân tích đa thức thành nhân tử

* Phương pháp: Sử dụng các phương pháp trên theo lắp thêm tự ưu tiên.

- cách thức đặt nhân tử chung.

Xem thêm: Cách Làm Bánh Bao Tiếng Anh Là Gì ? Bánh Bao Nhỏ

- phương thức dùng hằng đẳng thức.

- cách thức nhóm nhiều hạng tử.

 * Ví dụ: Phân tích nhiều thức sau thành nhân tử

 a) 3xy2 - 6xy + 3x

= 3x(y2 – 2y + 1) (đặt nhân tử chung)

= 3x(y – 1)2 (dùng hằng đẳng thức (A–B)2= A2– 2AB+ B2 trong bước này A là y B là 1)

 b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2

= 2((x2 + 2x +1) - y2) (đặt nhân tử chung)

= 2((x+1)2 - y2) (dùng hằng đẳng thức: (A+B)2= A2+2AB+B2) trong công đoạn này A là x; B là 1)

= 2(x+1-y)(x+1+y) (dùng hằng đẳng thức: A2–B2= (A-B)(A+B) trong công đoạn này A là x+ 1 còn B là y)

*

II. áp dụng giải một số dạng bài bác tập phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

 a) 3x - 6y;

 b)

*
;

 c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2;

 d)

*
;

 e) 10x(x - y) - 8y(y - x).

* lời giải bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1:

 a) 3x - 6y = 3(x-2y)

 b)

*
*

 c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x - 7xy.3y +7xy.4xy = 7xy(2x-3y+4xy)

 d) 

*
*

 e) 10x(x - y) - 8y(y - x)

- Ta thấy: y - x = –(x – y) nên ta có:

 10x(x - y) - 8y(y - x) =10x(x - y) - 8y<-(x - y)> =10x(x - y) + 8y(x - y) =2(x-y)(5x+4y)

Bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tính quý hiếm của biểu thức

a) 15.91,5 + 150.0,85;

b) x(x - 1) - y(1 - x) trên x = 2001 cùng y = 1999.

* lời giải bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1:

- giữ ý: với dạng bài tập này bọn họ cần đối chiếu hạng tử để mở ra nhân tử thông thường rồi so sánh thành nhân tử trước khi tính giá trị.

a) 15.91,5 + 150.0,85 =15.91,5 + 15.10.0,85 =15(91,5 + 10.0,85) =15(91,5 + 8,5) =15.100 =1500.

b) x(x - 1) - y(1 - x)

- Ta thấy: 1 - x = -(x - 1) đề xuất ta có:

 x(x - 1) - y(1 - x) =x(x-1)-y<-(x-1)> =x(x-1)+y(x-1) =(x-1)(x+y)

- Thay x = 2001 với y = 1999 ta được: (2001-1)(2001+1999) =2000.4000 =8000000

Bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0;

b) x3 – 13x = 0

* lời giải bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1:

a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0

⇔ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0

⇔ (x – 2000).(5x – 1) = 0

*
*

- tóm lại có 2 quý giá x thoả nguyện là x = 2000 cùng x = 1/5.

b) x3 = 13x ⇔ x3 – 13x = 0 ⇔ x(x2 – 13) = 0

*
 ⇔
*

- Kết luận: Có cha giá trị của x thỏa mãn nhu cầu là x = 0, x = √13 và x = –√13.

Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1:  chứng tỏ rằng 55n + 1 – 55n chia hết mang đến 54 (với n là số từ bỏ nhiên)

* Lời giải Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1: 

- Ta có: 55n + 1 – 55n = 55n.55 - 55n = 55n (55 - 1) = 55n.54

- vì 54 phân tách hết cho 54 đề nghị 55n.54 luôn chia hết đến 54 với n là số từ bỏ nhiên.

⇒ Vậy 55n + 1 – 55n chia hết đến 54.

Bài 43 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 + 6x + 9; b) 10x – 25 – x2

c) ; d)

* giải mã bài 43 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1:

a) x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2.(x).(3) + (3)2 = (x+3)2

b) 10x – 25 – x2 = –(–10x + 25 + x2) = –(x2 - 10x + 25)

= –<(x)2 – 2.(5).(x) + (5)2> = –(x–5)2

c)

*
*
*

d) 

*
*

Bài 44 trang 20 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)  ; b) (a + b)3 – (a – b)3 

c) (a + b)3 + (a – b)3 ;

d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3

e) - x3 + 9x2 – 27x + 27.

* giải thuật bài 44 trang đôi mươi skg toán 8 tập 1: 

a)

*
*
*

b) (a + b)3 – (a – b)3

= <(a + b) – (a – b)> . <(a + b)2 + (a + b).(a – b) + (a – b)2>

= (a + b – a + b) . (a2 + 2ab + b2 + a2 – b2+ a2 – 2ab + b2)

= 2b.(3a2+ b2)

c) (a + b)3 + (a – b)3

= <(a + b) + (a – b)> . <(a + b)2 – (a + b)(a –b) + (a – b)2>

= <(a + b) + (a – b)> . <(a2 + 2ab + b2) – (a2 – b2) + (a2 – 2ab + b2)>

= (a + b + a – b) . (a2 + 2ab + b2 – a2 + b2 + a2 – 2ab + b2)

= 2a.(a2 + 3b2)

d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3

e) –x3 + 9x2 – 27x + 27= (–x)3 + 3.(–x)2.3 + 3.(–x).32 + 33 = (–x + 3)3 = (3 – x)3

Bài 45 trang đôi mươi skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) 2 - 25x2 = 0

b) 

* giải thuật bài 45 trang 20 skg toán 8 tập 1:

a) 2 - 25x2 = 0 

*
*
*

- Kết luận: vậy tất cả 2 nghiệm thoả là x = -√2/5 với x= √2/5.

b) 

*
*
*

- Kết luận: vậy có một nghiệm thoả là x=1/2.

Bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1: Tính nhanh

a) 732 - 272 ; b) 372 - 132 ; c) 20022 - 22

* giải thuật bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1:

a) 732 – 272 = (73 + 27)(73 – 27) = 100.46 = 4600

b) 372 – 132 = (37 + 13)(37 – 13) = 50.24 = 100.12 = 1200

c) 20022 – 22 = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 .2000 = 4008000

Bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử

a) x2 –xy + x – y

b) xz + yz – 5(x + y)

c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y

* giải thuật bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1:

a) x2 – xy + x – y

+) Cách 1: Nhóm hai hạng tử sản phẩm công nghệ 1 cùng thứ 2, hạng tử đồ vật 3 với thứ 4

 x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y)= (x – y)(x + 1)

+) biện pháp 2: Nhóm hạng tử trang bị 1 cùng thứ 3 ; hạng tử thứ 2 và sản phẩm công nghệ 4

 x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y)= x.(x + 1) – y.(x + 1) = (x + 1)(x – y)

b) xz + yz – 5(x + y) = (xz + yz) – 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(z – 5)

c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y

+) Cách 1: Nhóm nhị hạng tử đầu tiên với nhau và hai hạng tử cuối cùng với nhau:

 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y) = 3x(x – y) – 5(x – y) = (x – y)(3x – 5)

+) phương pháp 2: Nhóm hạng tử đầu tiên với hạng tử sản phẩm 3; hạng tử thứ 2 với hạng tử máy 4:

 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 5x) – (3xy – 5y) = x(3x – 5) – y(3x – 5)= (3x – 5)(x – y).